Question

8．已知△ABD和△BCD是兩個直角三角形，∠BAD=∠BDC=$\frac{π}{2}$，E、F分別是邊AB、AD的中點，現將△ABD沿BD邊折起到A₁BD的位置，如圖所示，使平面A₁BD⊥平面BCD．
  （Ⅰ）求證：EF∥平面BCD；
（Ⅱ）求證：平面A₁BC⊥平QUOTE A₁BC⊥面A₁CD；
（Ⅲ）請你判斷，A₁C與BD是否有可能垂直，做出判斷并寫明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：EF∥BD，即可證明EF∥平面BCD；
（Ⅱ）證明A₁B⊥平面A₁CD，即可證明平面A₁BC⊥平面A₁CD；
（Ⅲ）利用反證法進行證明．

解答 （Ⅰ）證明：因為E、F分別是邊AB、AD的中點，
所以EF∥BD，
因為EF?平面BCD，BD?平面BCD，
所以EF∥平面BCD．------------（4分）
（Ⅱ）證明：因為平面A₁BD⊥平面BCD，平面A₁BD∩平面BCD=BD，
CD?平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A₁BD．
因為A₁B?平面A₁BD，
所以CD⊥A₁B，
因為A₁B⊥A₁D，A₁D∩CD=D，
所以A₁B⊥平面A₁CD．
因為A₁B?平面A₁BC，
所以平面A₁BC⊥平面A₁CD．------------（10分）
（Ⅲ）結論：A₁C 與BD 不可能垂直．
理由如下：
假設A₁C⊥BD，
因為CD⊥BD，A₁C∩CD=C，
所以BD⊥平面A₁CD，
因為A₁D⊥平面A₁CD，
所以BD⊥A₁D與 A₁B⊥A₁D矛盾，故A₁C 與不可能垂直．----------------（13分）

點評 本題考查線面平行、面面垂直的判定，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．