Question

16．已知函數$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，-\sqrt{2}）$
• B． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（-∞，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 根據題意分析可得若函數$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，則轉化為函數f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g′（x）=log₂（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，結合函數圖象和圖象平移的性質，分析得到答案．

解答 解：由題意可得：函數$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$
與g（x）=cosx+log₂（x+a）圖象上存在關于y軸對稱的點，
則轉化為函數f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）與g′（x）=log₂（x+a）的圖象上存在關于y軸對稱的點，
f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）只需將y=2^x的圖象向下平移$\frac{1}{2}$，
g₁（x）=log₂（x+a）需要將y=log₂x的圖象向左或右平移|a|，
分析可得，a＜$\sqrt{2}$，
故a的取值范圍是（-∞，$\sqrt{2}$），
故選D．

點評 本題考查的知識點是函數的圖象和性質，函數的零點，函數單調性的性質，函數的極限，是函數圖象和性質較為綜合的應用，難度大．