Question

3．已知集合A是函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定義域，集合B是函數g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域．
（1）求集合A；
（2）求集合B．

Answer 1

分析 （1）根據真數大于0的原則，可得函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定義域集合A；
（2）函數g（x）=2^x在區間[-1，2]上是單調增函數，求出函數的最值，進而可得函數g（x）=2^x，x∈[-1，2]的值域集合B．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）∵函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$有意義的條件是x-1＞0，得x＞1，
∴函數$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{x-1}）$的定義域是{x|x＞1}，
即A={x|x＞1}．…（5分）
（2）∵函數g（x）=2^x在區間[-1，2]上是單調增函數，
∴${g_{min}}（x）=g（{-1}）={2^{-1}}=\frac{1}{2}$，${g_{max}}（x）=g（2）={2^2}=4$，
∴函數g（x）=2^x的值域是$\left\{{y|\frac{1}{2}≤y≤4}\right\}$，
即$B=\left\{{y|\frac{1}{2}≤y≤4}\right\}$．…（10分）

點評 本題考查的知識點是函數的定義域，函數的值域，函數的最值及其幾何意義，難度基礎．