Question

13．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知直線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），圓C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（Ⅰ）當α=$\frac{π}{3}$時，求C₁被C₂截得的線段的長；
（Ⅱ）過坐標原點O作C₁的垂線，垂足為A，當α變化時，求A點軌跡的極坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當α=$\frac{π}{3}$時，C₁的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程為x²+y²=1，聯立方程組，解得C₁與C₂的交點，即可求C₁被C₂截得的線段的長；
（Ⅱ）求出A點坐標為（sin²α，-cosαsinα），可得普通方程，即可求A點軌跡的極坐標方程．

解答 解：（Ⅰ）當α=$\frac{π}{3}$時，C₁的普通方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），C₂的普通方程為x²+y²=1．
聯立方程組，解得C₁與C₂的交點為（1，0）與（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以，C₁被C₂截得的線段的長為1．                  …（5分）
（Ⅱ）將C₁的參數方程代入C₂的普通方程得t²+2tcosα=0，
∴A點對應的參數-cosα，∴A點坐標為（sin²α，-cosαsinα）．
故A點軌跡的普通方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$．
化為極坐標方程得ρ=cosθ．            …（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查學生的計算能力，屬于中檔題．