Question

8．已知函數f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
（1）求f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3）、f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）由（1）中求得的結果，你能發現f（x）與f（$\frac{1}{x}$）有什么關系？并證明你的發現；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{x}{1+x}$，能求出f（2），f（$\frac{1}{2}$），f（3）、f（$\frac{1}{3}$）的值．
（2）發現：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．利用函數性質能進行證明．
（3）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，能求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∴f（2）=$\frac{2}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
f（3）=$\frac{3}{1+3}$=$\frac{3}{4}$，
f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$．（4分）
（2）由以上結果發現：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．
證明：∵f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1+x}$+$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x}{1+x}+\frac{1}{1+x}$=1．（8分）
（3）∵f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）
=$\frac{1}{2}+2015=\frac{4031}{2}$．（12分）

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．