Question

16．如圖，三棱錐S-ABC，E，F分別在線段AB，AC上，EF∥BC，△ABC，△SEF均是等邊三角形，且平面SEF⊥平面ABC，若BC=4，EF=a，O為EF的中點．
（1）求證：BC⊥SA．
（2）a為何值時，BE⊥平面SCO．

Answer 1

分析 （1）利用平面SEF⊥平面ABC，得出SO⊥平面ABC，BC⊥SO，
再由等邊△ABC中AO⊥BC，得出BC⊥平面AOS，從而證明BC⊥AS；
（2）由SO⊥平面ABC得SO⊥BE，要使BE⊥平面SCD，則需BE⊥CO，
利用AE=EF求出a的值，得出此時BE⊥平面SCO．

解答 解：（1）證明：因為平面SEF⊥平面ABC，O為EF的中點，
且SE=SF，
∴SO⊥EF，
∴SO⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，BC⊥SO，
而在等邊△ABC中，AO⊥BC，
且SO∩AO=O，
∴BC⊥平面AOS，
又AS?平面AOS，∴BC⊥AS；
（2）平面SEF⊥平面ABC，O為EF的中點，且SE=SF，

∴SO⊥平面ABC，故SO⊥BE，
要使BE⊥平面SCD，則需BE⊥CO，
延長CO交AB于D，則CD⊥AB，
DE=$\frac{1}{2}$EO=$\frac{1}{4}$a，
AD=2，
∴AE=2+$\frac{1}{4}$a，
即AE=EF
2+$\frac{1}{4}$a=a，
解得a=$\frac{8}{3}$；
∴a=$\frac{8}{3}$時，BE⊥平面SCO．

點評 本題考查了空間中的垂直關系的應用問題，是綜合性題目．