Question

18．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF₂與橢圓的另一個交點為C，若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出A的坐標，結(jié)合向量等式求得C的坐標，代入橢圓方程可解e的值．

解答 解：如圖，

由題意，A（-c，$-\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，∴${y}_{C}=\frac{{b}^{2}}{2a}$，且x_C-c=c，得x_C=2c．
∴C（2c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），代入橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，
得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即5c²=a²，解得e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．