Question

19．對于使不等式f（x）≤M成立的所有常數M中，我們把M的最小值叫做函數f（x）的上確界．若a，b∈R⁺，a+b=1，則$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上確界為（　　）

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． -4

Answer 1

分析 由題意可知，當a，b∈R⁺，a+b=1時，求出$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的最大值即可，利用1的整體代換構造積為定值．

解答 解：則$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$=-（$\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}）=-（\frac{a+b}{2a}+\frac{2a+2b}{b}）$=-（$\frac{a+b}{2a}+\frac{2a+2b}{b}$  ）=-（$\frac{5}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{2a}{b}$）≤-$\frac{9}{2}$．
（當且僅當a：b=$\frac{1}{2}$時取到等號）
故選：A．

點評 這是一個常見的利用基本不等式求最值的問題，主要是利用題設構造積為定值的技巧