Question

18．已知函數f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+b²=k，求b（a+c）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據分段函數的單調性求出函數的最大值，即可求出k的值，
（2）根據基本不等式即可求出答案．

解答 解：（1）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
當x≥1時，函數的最大值為-1-4=-4，
當-1＜x＜1時，f（x）＜f（-1）=3-1=2，
當x≤-1時，f（x）_max=f（-1）=-1+3=2，
所以k=f（x）_max=f（-1）=2．
（2）由已知R，$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+b²=2，有（a²+b²）+（b²+c²）=4，
因為a²+b²≥2ab（當a=b取等號），b²+c²≥2bc（當b=c取等號），
所以a²+b²）+（b²+c²）=4≥（ab+bc），即ab+bc≤2，
故b（a+c）的最大值是2

點評 本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式解法等內容，重點考查考生的化歸與轉化思想．