Question

3．數列{a_n}滿足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，數列{a_n²}的前n項和記為S_n，若有S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$對任意的n∈N^*恒成立，則正整數t的最小值為17．

Answer 1

分析 由數列遞推式得到{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數列，求出a_n²=$\frac{1}{n}$，利用作差法證得數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，求出其最大項后代入S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$，則正整數t的最小值可求．

解答 解：由，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$}是以1為首項，以1為公差的等差數列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+n-1=n，
∴a_n²=$\frac{1}{n}$．
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$=$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+3}$＞0，
∴數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數列，
數列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為
S₃-S₁=a₂²+a₃²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{6}$．
∵S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$對任意n∈N^*恒成立，
∴$\frac{5}{6}$≤$\frac{t}{20}$，即t≥$\frac{50}{3}$，
即t的最小值為17
故答案為：17．

點評 本題考查實數的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列的通項公式和單調性的靈活運用．