Question

16．某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了四次試驗，得到的數據如下：
（注：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
（1）求出y關于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）試預測加工10個零件需要多少小時？
（3）此回歸方程擬合效果如何？

零件個數x（個）	2	3	4	5
加工時 間 ]y（小時）	2.5	3	4	4.5

Answer 1

分析 （1）根據表中數據，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$以及回歸系數$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，寫出回歸直線方程；
（2）計算x=10時y的值，即可預測結果；
（3）根據殘差以及R²的值，即可判斷回歸模型擬合效果．

解答 解：（1）根據表中數據，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+3+4+5）=3.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\underset{\stackrel{4}{∑}}{i=1}$x_iy_i=52.5，$\underset{\stackrel{4}{∑}}{i=1}$${{x}_{i}}^{2}$=54，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{52.5-4×3.5×3.5}{54-4{×3.5}^{2}}$=0.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×3.5=1.05，
∴回歸直線方程為：$\widehat{y}$=0.7x+1.05，
（2）當x=10時，y=0.7×10+1.05=8.05，
即預測加工10個零件需要8.05小時．
（3）x=2時，y=2.45，差是0.05，
x=3時，y=3.15，差是-0.15，
x=4時，y=3.95，差是0.05，
x=5時，y=4.55，差是-0.05，
計算R²知其值非常接近1，
故這個回歸模型擬合效果比較好．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，是綜合性題目．