Question

9．已知f（x）=x³-3x+3+m（m＞0）．在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形．則m的取值范圍是（　　）

• A． $（3+4\sqrt{2}，+∞）$
• B． $（2\sqrt{2}-1，+∞）$
• C． $（0，2\sqrt{2}-1）$
• D． $（0，3+4\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 求導f′（x）=3x²-3，由導數性質得函數f（x）在區間（0，1）單調遞減，在區間（1，2）單調遞增，從而f（x）_min=f（1）=m+1，f（x）_max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．由此能求出結果．

解答 解：f（x）=x³-3x+3+m，求導f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得到x=1或者x=-1，
又x在[0，2]內，∴函數f（x）在區間（0，1）單調遞減，在區間（1，2）單調遞增，
則f（x）_min=f（1）=m+1，f（x）_max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．
∵在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，
使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是構成直角三角形，
∴（m+1）²+（m+1）²＜（m+5）²，即m²-6m-23＜0，解得3-4$\sqrt{2}$＜m＜3+4$\sqrt{2}$，
又已知m＞0，∴0＜m＜3+4$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．