Question

14．已知正四面體ABCD，則直線BC與平面ACD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 取AD中點E，連結CE，過B作BO⊥CE，交CE于點O，則∠BCO就是線BC與平面ACD所成角，由此能求出結果．

解答 解：如圖，取AD中點E，連結CE，過B作BO⊥CE，交CE于點O，
則∠BCO就是線BC與平面ACD所成角，
設正四面體ABCD的棱長為2，
則CO=$\frac{2}{3}CE$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BCO=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠BCO=$\sqrt{1-\frac{3}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．