Question

6．設實數x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\\ x+y-5≤0\end{array}$，則當z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2時，則$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{5+2\sqrt{6}}}{2}$
• B． $5+2\sqrt{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 首先畫出可行域，得到目標函數取最小值時a，b滿足的等式，然后對所求變形為基本不等式的形式求最小值．

解答 解：畫出可行域如圖，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$得到H（1，1），
∵當a＞0，b＞0，所以z在H（1，1）處取得最小值，
故a+b=2，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）•\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}（1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1）≥1+\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}=2$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值是2；
故選D．

點評 本題考查了簡單線性規劃問題以及利用基本不等式求最小值；正確求出a+b=2是解答本題的關鍵．