Question

18．中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線C過點$P（3，\sqrt{5}）$，離心率為$\sqrt{2}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過C的左頂點A引C的一條漸近線的平行線l，求直線l與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）確定雙曲線的焦點在x軸上，設其方程為x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，即可求雙曲線C的方程；
（2）求出雙曲線的漸近線方程，求出直線與另一條漸近線的交點，然后求出三角形的面積．

解答 解：（1）設雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，則$\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{{c^2}-{a^2}}}}{a}=\sqrt{{e^2}-1}=1$--（2分）
∴a=b，故雙曲線的漸近線方程為y=±x，----------（4分）
將x=3代入y=x得$y=3＞\sqrt{5}$，
故雙曲線的焦點在x軸上，--------（6分）
設其方程為x²-y²=a²，代入$P（3，\sqrt{5}）$得a²=4，
故所求雙曲線方程為x²-y²=4．----------（8分）
（2）雙曲線x²-y²=4的左頂點A（-2，0），漸近線方程為y=±x
過點A與漸近線y=x平行的直線方程為y=x+2，--------（10分）
它與雙曲線的另一漸近線y=-x交于M（-1，1）
∴所求三角形的面積為.$S=\frac{1}{2}|{OA}|{y_M}=\frac{1}{2}×2×1=1$---------------（12分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力．