Question

18．已知a，b為常數，設f（x）=ax²+|x-b|+1．
（1）當a=0時，寫出函數x的單調增區間和單調減區間；
（2）當a=1時，①試討論函數f（x）的奇偶性；②求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）當a=0時，f（x）=|x-b|+1，寫出函數x的單調增區間和單調減區間；
（2）①可知f（-x）=x²+|x+b|+1，從而可知若函數為偶函數，則|x+b|=|x-b|，從而解得，說明b≠0時的情況即可；
②化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；從而分類討論以確定函數的單調性，從而求最小值．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=|x-b|+1，函數的單調增區間（b，+∞）；單調減區間（-∞，b）；
（2）①∵f（x）=x²+|x-b|+1，
∴f（-x）=x²+|x+b|+1，
若函數為偶函數，
|x+b|=|x-b|，
解得，b=0；
當b≠0時，x²+|x-b|+1≠x²+|x+b|+1，
故函數為非奇非偶函數；
綜上所述，當a=0時，函數為偶函數；
當a≠0時，函數為非奇非偶函數；
②f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-b+\frac{3}{4}，x≥b}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+b+\frac{3}{4}，x＜b}\end{array}\right.$；
當b＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，b）上是減函數，故f（x）＞f（b）=b²+1；
在（b，-$\frac{1}{2}$）上是減函數，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數；
故f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）上是減函數，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數；
故f（x）有最小值f（-$\frac{1}{2}$）=-b+$\frac{3}{4}$；
當-$\frac{1}{2}$≤b≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，b）上是減函數，在（b，+∞）上是增函數；
故f（x）有最小值f（b）=b²+1；
當b$＞\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上是減函數，在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數；
故f（x）有最小值f（$\frac{1}{2}$）=b+$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了絕對值函數與分段函數的綜合應用及分類討論的思想應用，化簡與判斷都比較困難，屬于中檔題．