Question

9．給定有窮單調遞增數列{x_n}（n∈N^*），數列{x_n}至少有兩項，且x_i≠0（1≤i≤n），定義集合A={（x，y）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若對任意點A₁∈A，存在A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O為坐標原點），則稱數列{x_n}具有性質P．
（1）給出下列四個命題，其中正確是①③④（填上所有正確命題的序號）
①數列{x_n}：-2，2具有性質P；
②數列{x_n}：-2，-1，1，2具有性質P；
③數列{x_n}具有性質P，則{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j，使得x_i+x_j=0；
④數列{x_n}具有性質P，x₁=-1，x₂＞0，且x_n＞1（n≥3），則x₂=1．
（2）若數列{x_n}只有2015項且具有性質P，x₁=-1，x₃=2，則{x_n}的所有S₂₀₁₅=2²⁰¹⁶-2．

Answer 1

分析 （1）利用數列{a_n}具有性質P的概念，對數列{x_n}：-2，2與數列{x_n}：-2，-1，1，3分析判斷即可；取A₁（x_i，x_i），數列{x_n}具有性質P，故存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，利用向量的坐標運算整理即可證得x_i+x_j=0；數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；數列{x_n}是單調遞增數列且x₂＞0，1為數列{x_n}中的一項，通過反證法可證得x₂=1；
（2）x₂=1．若數列{x_n}只有2015項且具有性質P，可得x₄=4，x₅=8，猜想數列{x_n}從第二項起是公比為2的等比數列，利用等比數列的求和公式計算即可．

解答 解：（1）①對于數列{x_n}，若A₁（-2，2），則A₂（2，2），
若A₁（-2，-2）則A₂（2，-2），均滿足OA₁⊥OA₂，所以①具有性質P，故①正確；
②對于數列{x_n}，當A₁（-2，3）若存在A₂（x，y）滿足OA₁⊥OA₂，
即-2x+3y=0，即$\frac{y}{x}$=$\frac{2}{3}$，數列{x_n}中不存在這樣的數x，y，因此②不具有性質P，故②不正確；
③取A₁（x_i，x_i），又數列{x_n}具有性質P，所以存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，
即x_ix_i+x_ix_j=0，又x_i≠0，所以x_i+x_j=0，故③正確；
④由③知，數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
又數列{x_n}是單調遞增數列且x₂＞0，所以1為數列{x_n}中的一項．
假設x₂≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N^*）有x_k=1，所以0＜x₂＜1．
此時取A₁（x₂，x_n），數列{x_n}具有性質P，所以存在點A₂（x_i，x_s）使得OA₁⊥OA₂，
所以x₂x_i+x_nx_s=0；只有x₁，所以當x₁=-1時x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾；
當x_s=-1時x₂=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{i}}$≥1，矛盾．所以x₂=1，故④正確．
（2）由（1）知，x₂=1．若數列{x_n}只有2015項且具有性質P，可得x₄=4，x₅=8，
猜想數列{x_n}從第二項起是公比為2的等比數列，所以S₂₀₁₅=-1+1+2+4+…+2²⁰¹⁵
=2+4+…+2²⁰¹⁵=2²⁰¹⁶-2．
故答案為：①③④；2²⁰¹⁶-2．

點評 本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查新概念的理解與應用，突出考查抽象思維與反證法的綜合應用，屬于難題．