Question

4．函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+2存在單調遞減區間，則a的取值范圍是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為方程ax²+2ax+1=0有解，根據二次函數的性質求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=ax²+2ax+1，
函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+2存在單調遞減區間，
則存在x∈R，滿足f′（x）=ax²+2ax+1＜0，
即方程ax²+2ax+1=0有解，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△={4a}^{2}-4a＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞1或a＜0，
故答案為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了導數的應用，考查二次函數的性質有解轉化思想，是一道基礎題．