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12.在△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且BC邊上的高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}a$,則$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$取得最大值時,角A的值為$\frac{π}{3}$.

分析 利用三角形的面積計算公式可得$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a2=$\frac{1}{2}$bcsinA即a2=2$\sqrt{3}$bcsinA,利用余弦定理及已知可得$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=4sin(A+$\frac{π}{6}$)≤4,從而可解得A的值.

解答 解:∵$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a2=$\frac{1}{2}$bcsinA,
∴a2=2$\sqrt{3}$bcsinA.
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$,
∴b2+c2=a2+2bccosA=2$\sqrt{3}$bcsinA+2bccosA
∴$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA=4sin(A+$\frac{π}{6}$)≤4,
∴$\frac{c}{b}$+$\frac{b}{c}$的最大值是4時有A+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z
∴可解得:A=2kπ+$\frac{π}{3}$,k∈Z
∵0<A<π
∴A=$\frac{π}{3}$.
故答案為:$\frac{π}{3}$

點評 本題考查了三角形的面積計算公式、余弦定理、兩角和差的正弦計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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