Question

2．已知函數$f（x）=\frac{{2-m•{2^x}}}{2^x}$，函數$g（x）={log_a}（{x^2}+x+2）$（a＞0且a≠1）在$[{-\frac{1}{3}\;，\;1}]$上的最大值為2，若對任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實數m的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞\;，\;-\frac{2}{3}}]$
• B． $[{\frac{2}{3}\;，\;+∞}）$
• C． $（{-∞\;，\;-\frac{1}{2}}]$
• D． $（{-∞\;，\;\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 由已知函數g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{3}$，1]上的最大值為2，先求出a值，進而求出兩個函數在指定區間上的最小值，結合已知，分析兩個最小值的關系，可得答案．

解答 解：∵函數f（x）=$\frac{2-m{•2}^{x}}{{2}^{x}}$=2^1-x-m，
當x₁∈[-1，2]時，f（x₁）∈[$\frac{1}{2}$-m，4-m]；
∵t=x²+x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
故x∈[-$\frac{1}{3}$，1]時，t∈[$\frac{16}{9}$，4]，
若函數g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{3}$，1]上的最大值為2，
則a=2，
即g（x）=log₂（x²+x+2），
當x₂∈[0，3]時，g（x₂）∈[1，log₂14]，
若對任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
則$\frac{1}{2}$-m≥1，
解得m∈（-∞，-$\frac{1}{2}$]，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，指數函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度中檔．