Question

10．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA_l=3，點(diǎn)D為C₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．
（1）證明DP∥平面ACC_lA_l•
（2）求三棱錐C₁-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)DP，AC₁，推導(dǎo)出DP∥AC₁，由此能證明DP∥平面ACC_lA_l•
（2）三棱錐C₁-ABC的體積${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連結(jié)DP，AC₁，
∵點(diǎn)D為C₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，
∴DP∥AC₁，
∵DP?平面ACC_lA_l，AC₁?平面ACC_lA_l，
∴DP∥平面ACC_lA_l•
解：（2）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA_l=3，
∴三棱錐C₁-ABC的體積：
${V}_{{C}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×3×（\frac{1}{2}×2×2×sin60°）$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．