Question

9．將圓x²+y²=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C．
（1）求曲線C的參數(shù)方程；
（2）求曲線C上的點(diǎn)P（x，y），使得$z=x-2\sqrt{3}y$取得最小值．

Answer 1

分析 （1）首先，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，然后，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系式，求解其普通方程，再將其化為參數(shù)方程即可；
（2）由（1），可得z=2cost-2$\sqrt{3}$sint=4cos（t+60°），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)（x₁，y₁）為圓上的任意一點(diǎn)，在已知變換下變?yōu)镃上點(diǎn)（x，y），
根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{x}{2}}\\{{y}_{1}=y}\end{array}\right.$，
根據(jù)x₁²+y₁²=1，得曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
所以，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（2）由（1），可得z=2cost-2$\sqrt{3}$sint=4cos（t+60°），
∴cos（t+60°）=-1，t=120°，P（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），使得$z=x-2\sqrt{3}y$取得最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了直線的參數(shù)方程，考查了直線參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．