Question

1．已知函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-3x）+2．
（1）求f（x）的單調遞減區間；
（2）若x∈[$\frac{5π}{2}$，$\frac{17π}{6}$]，求f（x）的值域；
（3）寫出f（x）的圖象經過怎樣的變換可以得到y=sinx的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的單調性，求得函數f（x）的減區間．
（2）由題意利用正弦函數的定義域和值域，求得f（x）的值域．
（3）根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．

解答 解：（1）函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$-3x）+2=-$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{4}$）+2 的減區間，
即$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{4}$）的增區間，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，
故函數f（x）的減區間為[$\frac{2kπ}{3}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（2）若x∈[$\frac{5π}{2}$，$\frac{17π}{6}$]，則3x-$\frac{π}{4}$∈[$\frac{29π}{4}$，$\frac{33π}{4}$]，等價于3x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，
sin（3x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，f（x）∈[2-$\sqrt{2}$，1]．
（3）把函數f（x）=-$\sqrt{2}$sin（3x-$\frac{π}{4}$）+2 的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位，可得y=-$\sqrt{2}$sin3x+2 的圖象；
再向下平移2個單位，可得y=-$\sqrt{2}$sin3x的圖象；再把橫坐標變為原來的3倍，可得y=-$\sqrt{2}$sinx 的圖象；
再把縱坐標變為原來的-$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍，可得y=sinx的圖象．

點評 本題主要考查誘導公式、正弦函數的單調性，正弦函數的定義域和值域，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．