Question

6．已知α為銳角，滿足$sin（\frac{π}{2}+2α）=cos（\frac{π}{4}-α）$，則sin2α=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據二倍角公式以及和差角公式對已知條件兩邊整理得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再兩邊平方即可得到結論．

解答 解：∵$sin（\frac{π}{2}+2α）=cos2α$=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），①
cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），②
∵銳角α滿足cos2α=cos（$\frac{π}{4}$-α），③
∴由①②③得，cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
兩邊平方整理得：1-sin2α=$\frac{1}{2}$，則sin2α=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值．解決這類題目的關鍵在于對公式的熟練掌握及其應用，是基礎題．