Question

13．已知不等式$（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{a}{y}）≥25$對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為（　　）

• A． $\frac{625}{16}$
• B． 16
• C． $\frac{25}{16}$
• D． 18

Answer 1

分析 利用基本不等式進行求解，先求出（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²，然后解不等式即可

解答 解：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）²，
∴（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²，
∵不等式$（x+y）（\frac{1}{x}+\frac{a}{y}）≥25$對任意正實數x，y恒成立，
∴（$\sqrt{a}$+1）²≥25，
即$\sqrt{a}$+1≥5，
則a≥16，
即正實數a的最小值為16，
故選：B．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，利用基本不等式先求出：（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）的最小值為（$\sqrt{a}$+1）²是解決本題的關鍵