Question

4．已知直線y=kx（k∈R）與函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3-（\frac{1}{4}）^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}+2（x＞0）}\end{array}\right.$的圖象恰有三個不同的公共點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 當x＞0時，如圖：設切點為（a，f（a）），求出切線的斜率即可求出實數k的最大值．

解答 解：當x＞0時，如圖：設切點為（a，f（a））．
∵f′（x）=x，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+2}{a}$=a，
解得a=2，
∴k=f′（2）=2，
當k＞2時，且x＞0，y=kx與y=$\frac{1}{2}$x²+2有兩個交點，
當x＜0時，y=kx，與y=3-（$\frac{1}{4}$）總有一個交點，
∴k＞2，
故選：D

點評 本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的零點與方程根的關系，考查轉化思想與作圖能力，屬于中檔題．