Question

12．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺）
（1）求a的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=（1-an）log₃（a_n²•a_n+1），求$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （1）等比數列{a_n}滿足6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺），n=1時，6a₁=9+a；n≥2時，6a_n=6（S_n-S_n-1），可得a_n=3^n-1，n=1時也成立，于是1×6=9+a，解得a．
（2）由（1）代入可得b_n=（1+3n）$lo{g}_{3}{（3}^{2n-2}•{3}^{n}）$=（3n+1）（3n-2），因此$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵等比數列{a_n}滿足6S_n=3ⁿ⁺¹+a（n∈N⁺），
n=1時，6a₁=9+a；
n≥2時，6a_n=6（S_n-S_n-1）=3ⁿ⁺¹+a-（3ⁿ+a）=2×3ⁿ．
∴a_n=3^n-1，n=1時也成立，∴1×6=9+a，解得a=-3．
∴a_n=3^n-1．
（2）b_n=（1-an）log₃（a_n²•a_n+1）=（1+3n）$lo{g}_{3}{（3}^{2n-2}•{3}^{n}）$=（3n+1）（3n-2），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$的前n項和為T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的定義通項公式、數列遞推關系、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．