Question

2．已知函數f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（1）當a=1時，求f（x）≤3的解集；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，求得函數的解析式，分類當x＞2時，3x-3≤3，則x≤2，不等式無解；當$\frac{1}{2}$≤x≤2時，x+1≤3，則x≤2，當x＜$\frac{1}{2}$時，3-3x≤3，則x≥0，即可求得f（x）≤3的解集；
（2）由|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，即|x-2a|≤4-2x，2x-4≤x-2a≤4-2x，$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，對x∈[1，2]恒成立，當1≤x≤2時，3x-4的最大值2，4-x的最小值為3，即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知：當a=1時，原不等式可化為：f（x）=|2x-1|+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{3-3x}&{x≤\frac{1}{2}}\\{1+x}&{\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-3}&{x≥2}\end{array}\right.$，
依題意，當x＞2時，3x-3≤3，則x≤2，不等式無解；當$\frac{1}{2}$≤x≤2時，x+1≤3，則x≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤x≤2；
當x＜$\frac{1}{2}$時，3-3x≤3，則x≥0，
∴0≤x＜$\frac{1}{2}$；
綜上可知：原不等式的解集為：{x丨0≤x≤2}
（2）原不等式可化為：|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，
∴|x-2a|≤4-2x，即：2x-4≤x-2a≤4-2x，
∴$\frac{3x-4}{2}$≤a≤$\frac{4-x}{2}$，對x∈[1，2]恒成立，
當1≤x≤2時，3x-4的最大值2，4-x的最小值為3，
∴實數a的取值范圍：a=1．
實數a的取值范圍{1}．

點評 本題考查分段函數的解集，考查含絕對值函數的應用，考查分類討論思想，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題．