Question

4．某同學在研究函數f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1（x∈R）時，得出了下面4個結論：①等式f（-x）=f（x）在x∈R時恒成立；②函數f（x）在x∈R上的值域為（-1，1]；③曲線y=f（x）與g（x）=2^x-2僅有一個公共點；④若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區間[a，b]（a，b為整數）上的值域是[0，1]，則滿足條件的整數數對（a，b）共有5對．其中正確結論的序號有①②④（請將你認為正確的結論的序號都填上）．

Answer 1

分析 可以先研究函數的奇偶性，然后做出函數的圖象，據此求解．

解答 解：函數f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1易知函數的定義域為R，且f（-x）=f（x），故函數為偶函數．故①正確；
當x＞0時，函數f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1=$\frac{4}{x+2}-1$，該函數在（0，+∞）上減函數，且x=0時，f（x）=1；當x→+∞時，f（x）→-1．函數的值域為：（-1，1]，所以②正確；
結合奇偶性，作出f（x）的圖象如下：
易知函數的值域是（-1，1），故②正確；
曲線y=f（x）與g（x）=2^x-2，結合函數的圖象，可知x=0時，g（0）=$\frac{1}{4}$，僅有一個公共點不正確，所以③不正確；
若f（x）=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區間[a，b]（a，b為整數）上的值域是[0，1]，則滿足條件的整數數對（a，b）共有5對．分別為（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，2），（0，2）所以④正確．
故正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了函數的性質．一般先研究定義域，然后判斷函數的奇偶性、單調性等性質作為突破口，有一些要結合函數的圖象加以分析，注意數形結合的思想的應用．