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4.某同學在研究函數f(x)=$\frac{4}{|x|+2}$-1(x∈R)時,得出了下面4個結論:①等式f(-x)=f(x)在x∈R時恒成立;②函數f(x)在x∈R上的值域為(-1,1];③曲線y=f(x)與g(x)=2x-2僅有一個公共點;④若f(x)=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區間[a,b](a,b為整數)上的值域是[0,1],則滿足條件的整數數對(a,b)共有5對.其中正確結論的序號有①②④(請將你認為正確的結論的序號都填上).

分析 可以先研究函數的奇偶性,然后做出函數的圖象,據此求解.

解答 解:函數f(x)=$\frac{4}{|x|+2}$-1易知函數的定義域為R,且f(-x)=f(x),故函數為偶函數.故①正確;
當x>0時,函數f(x)=$\frac{4}{|x|+2}$-1=$\frac{4}{x+2}-1$,該函數在(0,+∞)上減函數,且x=0時,f(x)=1;當x→+∞時,f(x)→-1.函數的值域為:(-1,1],所以②正確;
結合奇偶性,作出f(x)的圖象如下:
易知函數的值域是(-1,1),故②正確;
曲線y=f(x)與g(x)=2x-2,結合函數的圖象,可知x=0時,g(0)=$\frac{1}{4}$,僅有一個公共點不正確,所以③不正確;
若f(x)=$\frac{4}{|x|+2}$-1在區間[a,b](a,b為整數)上的值域是[0,1],則滿足條件的整數數對(a,b)共有5對.分別為(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2),(0,2)所以④正確.
故正確的命題是①②④.
故答案為:①②④.

點評 本題考查了函數的性質.一般先研究定義域,然后判斷函數的奇偶性、單調性等性質作為突破口,有一些要結合函數的圖象加以分析,注意數形結合的思想的應用.

練習冊系列答案
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