Question

13．已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），過點P（3，3）的直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）求原點（0，0）到直線l的距離；
（Ⅱ）設直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數化為普通方程，利用點到直線的距離公式可得：原點（0，0）到直線l的距離d．
（II）圓錐曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），即x²+y²=1．把直線l的方程代入化為：5t²+42t+85=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（I）直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{4}{5}t\\ y=3+\frac{3}{5}t\end{array}\right.$（t為參數），消去參數化為：3x-4y+3=0，
∴原點（0，0）到直線l的距離d=$\frac{3}{5}$．
（II）圓錐曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），即x²+y²=1．
把直線l的方程代入化為：5t²+42t+85=0，∴t₁t₂=17．
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=17．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．