Question

8．如圖，橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1，A是其右頂點，B是該橢圓在第一象限部分上的一點，且∠AOB=$\frac{π}{4}$．若點C是橢圓上的動點，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為[-9，3]．

Answer 1

分析 由由橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦點在x軸上，A點坐標為（$\sqrt{6}$，0），直線OB所在的直線為：y=x，設B點坐標為（x，x），代入即可求得B點坐標，設C點坐標為（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，由余弦函數的性質，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍．

解答 解：由橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}$=1焦點在x軸上，A點坐標為（$\sqrt{6}$，0），∵∠AOB=$\frac{π}{4}$，
∴直線OB所在的直線為：y=x，
設B點坐標為（x，x），
將B點坐標代入到橢圓方程里，有：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{x}^{2}}{4}=1$
解得：x²=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
∴B點坐標為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
設C點坐標為（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴當cosθ=-1時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最小值，最小值為-6-3=-9，
當cosθ=1時，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最大值，最大值為6-3=3，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍[-9，3]．
故答案為：[-9，3]．

點評 本題考查橢圓的參數方程，直線與橢圓的關系，考查向量數量積的坐標運算，余弦函數的最值，考查計算能力，屬于中檔題．