Question

18．已知二次函數f（x）=ax²+x（a≠0）．
（1）當a＜0時，若函數$y=\sqrt{f（x）}$定義域與值域完全相同，求a的值；
（2）當a＞0時，求函數g（x）=f（x）-2x-|x-a|的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）當a＜0時，求出函數$y=\sqrt{f（x）}$定義域與值域，利用定義域與值域完全相同，求a的值；
（2）當a＞0時，分類討論求函數g（x）=f（x）-2x-|x-a|的最小值h（a）．

解答 解：（1）當a＜0時，$y=\sqrt{f（x）}$定義域為[0，-$\frac{1}{a}$]．
$y=\sqrt{f（x）}$=$\sqrt{a（x+\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}}$值域為[0，$\sqrt{-\frac{1}{4a}}$]，
∴$\frac{1}{a}$=$\sqrt{-\frac{1}{4a}}$，∴a=-4；
（2）g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-2x+a，x≥a}\\{a{x}^{2}-a，x＜a}\end{array}\right.$，
①0≤a≤1，$\frac{1}{a}≥a$，x≥a，g（x）_min=g（$\frac{1}{a}$）=a-$\frac{1}{a}$，x＜a，g（x）_min=g（0）=-a，
a-$\frac{1}{a}$≥-a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤1，h（a）=-a；
a-$\frac{1}{a}$＜-a，∴0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，h（a）=a-$\frac{1}{a}$；
②a＞1，$\frac{1}{a}$＜a，x≥a，g（x）_min=g（a），x＜a，g（x）_min=g（0）=-a，函數在[0，a]上單調遞增，
∴h（a）=-a；
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，0＜a＜\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-a，a≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數的定義域與值域，考查函數的最小值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．