Question

7．已知函數f（x）=（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x（x≥$\frac{1}{2}$）．
（1）求f（x）的導函數；
（2）求f（x）在區間[$\frac{1}{2}$，+∞）上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，注意運用復合函數的求導法則，即可得到所求；
（2）求出f（x）的導數，求得極值點，討論當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，當1＜x＜$\frac{5}{2}$時，當x＞$\frac{5}{2}$時，f（x）的單調性，判斷f（x）≥0，計算f（$\frac{1}{2}$），f（1），f（$\frac{5}{2}$），即可得到所求取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x（x≥$\frac{1}{2}$），
導數f′（x）=（1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$•2）e^-x-（x-$\sqrt{2x-1}$）e^-x
=（1-x+$\frac{2x-2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x=（1-x）（1-$\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x；
（2）由f（x）的導數f′（x）=（1-x）（1-$\frac{2}{\sqrt{2x-1}}$）e^-x，
可得f′（x）=0時，x=1或$\frac{5}{2}$，
當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當1＜x＜$\frac{5}{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞$\frac{5}{2}$時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
且x≥$\sqrt{2x-1}$?x²≥2x-1?（x-1）²≥0，
則f（x）≥0．
由f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，f（1）=0，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{5}{2}}$，
即有f（x）的最大值為$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$，最小值為f（1）=0．
則f（x）在區間[$\frac{1}{2}$，+∞）上的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$e${\;}^{-\frac{1}{2}}$]．

點評 本題考查導數的運用：求單調區間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導是解題的關鍵，屬于中檔題．