Question

15．給出下列三個(gè)命題：
①若回歸直線的斜率估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），則回歸直線方程是$\widehaty=1.23x+0.08$；
②若偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=-f（x），且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，則方程f（x）=log₃|x|有3個(gè)根；
③已知函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1在[0，+∞）內(nèi)只有兩個(gè)零點(diǎn)．
正確命題的序號(hào)是①③（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 求出回歸系數(shù)，進(jìn)而得到回歸直線方程，可判斷①；
分析函數(shù)y=f（x）與y=log₃|x|的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷②；
分析函數(shù)y=（$\frac{3}{2}$）^x與y=sinx+1的圖象在[0，+∞）內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判斷③．

解答 解：①若回歸直線的斜率估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)的中心為（4，5），
則$\hat{a}$=5-4×1.23=0.08，故回歸直線方程是$\widehaty=1.23x+0.08$，故正確；
②若偶函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=-f（x），則函數(shù)周期為2，
且x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
則函數(shù)y=f（x）與y=log₃|x|的圖象在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)y=f（x）與y=log₃|x|的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，
則方程f（x）=log₃|x|有4個(gè)根，故錯(cuò)誤；
③由函數(shù)y=（$\frac{3}{2}$）^x與y=sinx+1的圖象在[0，+∞）內(nèi)只有兩個(gè)交點(diǎn)．

故函數(shù)f（x）=（$\frac{3}{2}$）^x-sinx-1在[0，+∞）內(nèi)只有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體考查了函數(shù)的零點(diǎn)，回歸直線方程，難度中檔．