Question

10．已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點O，極軸與x軸非負半軸重合，曲線C₁：ρsin²θ=4cosθ，C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t為參數），相交于A，B兩點，若△AOB的面積為$\sqrt{6}$，則|AB|=6．

Answer 1

分析 求出曲線C₁的直角坐標方程，把C₂的參數方程代入C₁得出弦長公式，根據三角形的面積公式列方程求出sinθ，從而可得|AB|的長．

解答 解：曲線C₁的方程可化為ρ²sin²θ=4ρcosθ，即y²=4x，
把曲線C₂的參數方程代入y²=4x得t²sin²θ=4+4tcosθ，即t²sin²θ-4tcosθ-4=0，
∴t₁+t₂=$\frac{4cosθ}{si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=$\frac{-4}{si{n}^{2}θ}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×1×|AB|sinθ$=$\frac{2}{sinθ}$=$\sqrt{6}$，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴|AB|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=6．
故答案為：6．

點評 本題考查了極坐標與參數方程，參數的幾何意義，屬于中檔題．