Question

19．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數），直線l的參數方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$，（t為參數）．
（1）若a=-1，求C與l的交點坐標；
（2）若C上的點到l距離的最大值為$\sqrt{17}$，求a．

Answer 1

分析 （1）將曲線C的參數方程化為標準方程，直線l的參數方程化為一般方程，聯立兩方程可以求得焦點坐標；
（2）曲線C上的點可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），運用點到直線距離公式可以表示出P到直線l的距離，再結合距離最大值為$\sqrt{17}$進行分析，可以求出a的值．

解答 解：（1）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），化為標準方程是：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
a=-1時，直線l的參數方程化為一般方程是：x+4y-3=0；
聯立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\\{x+4y-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{21}{25}}\\{y=\frac{24}{25}}\end{array}\right.$，
所以橢圓C和直線l的交點為（3，0）和（-$\frac{21}{25}$，$\frac{24}{25}$）．
（2）l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a+4t}\\{y=1-t}\end{array}\right.$（t為參數）化為一般方程是：x+4y-a-4=0，
橢圓C上的任一點P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），
所以點P到直線l的距離d為：
d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-a-4|}{\sqrt{17}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-a-4|}{\sqrt{17}}$，φ滿足tanφ=$\frac{3}{4}$，且的d的最大值為$\sqrt{17}$．
①當-a-4≤0時，即a≥-4時，
|5sin（θ+4）-a-4|≤|-5-a-4|=5+a+4=17
解得a=8≥-4，符合題意．
②當-a-4＞0時，即a＜-4時
|5sin（θ+4）-a-4|≤|5-a-4|=5-a-4=1-a=17
解得a=-16＜-4，符合題意．

點評 本題主要考查曲線的參數方程、點到直線距離和三角函數的最值，難點在于如何根據曲線C上的點到直線l距離的最大值求出a．