Question

6．過(guò)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F作圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為M，延長(zhǎng)FM交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作出簡(jiǎn)圖，由圖中可得線段的長(zhǎng)，從而得到b=2a，進(jìn)而求雙曲線的離心率．

解答 解：如圖|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；
∴|F|=b，又∵M(jìn)為PF的中點(diǎn)，
|PG|=2|OM|=2a，
|PF|=2b，
∴|PF|-|PG|=2b-2a=2a；
∴b=2a，
∴c=$\sqrt{5}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故答案為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的作圖能力及分析轉(zhuǎn)化的能力，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了雙曲線的定義，屬于中檔題．