Question

15．對任意實數a，b，定義運算“⊕”：$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}b，a-b≥1\\ a，a-b＜1\end{array}\right.$，設f（x）=（x²-1）⊕（4+x），若函數y=f（x）-k有三個不同零點，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，2]
• B． [0，1]
• C． [-1，3）
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 化簡函數f（x）的解析式，作出函數y=f（x）的圖象，由題意可得，函數y=f（x）與y=k的圖象有3個交點，結合圖象求得結果．

解答 解：由x²-1-（4+x）=x²-x-5≥1得x²-x-6≥0，得x≥3或x≤-2，此時f（x）=4+x，
由x²-1-（4+x）=x²-x-5＜1得x²-x-6＜0，得-2＜x＜3，此時f（x）=x²-1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4+x，}&{x≥3或x≤-2}\\{{x}^{2}-1，}&{-2＜x＜3}\end{array}\right.$，
若函數y=f（x）-k有三個不同零點，
即y=f（x）-k=0，即k=f（x）有三個不同的根，
作出函數f（x）與y=k的圖象如圖：
當k=2時，兩個函數有三個交點，
當k=-1時，兩個函數有兩個交點，
故若函數f（x）與y=k有三個不同的交點，
則-1＜k≤2，
即實數k的取值范圍是（-1，2]，
故選：A

點評 本題主要考查數形結合解決函數的零點個數問題，關鍵是正確畫圖、識圖；體現了化歸與轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．