Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+1，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，m∈R．
（1）當m=0時，求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若f（x）的最小值為-1，求實數m的值；
（3）是否存在實數m，使函數g（x）=f（x）+$\frac{24}{49}$m²，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]有四個不同的零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量數量積的公式化簡函數f（x）即可．
（2）求出函數f（x）的表達式，利用換元法結合一元二次函數的最值性質進行討論求解即可．
（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函數的性質進行求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
當m=0時，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=cos2x+1，
則f（$\frac{π}{6}$）=cos（2×$\frac{π}{6}$）+1=cos$\frac{π}{3}$+1=$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2+2cos2x}$=$\sqrt{4co{s}^{2}x}$=2cosx，
則f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|+1=cos2x-2mcosx+1=2cos²x-2mcosx，
令t=cosx，則$\frac{1}{2}$≤t≤1，
則y=2t²-2mt，對稱軸t=$\frac{m}{2}$，
①當$\frac{m}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即m＜1時，
當t=$\frac{1}{2}$時，函數取得最小值此時最小值y=$\frac{1}{2}$-m=-1，得m=$\frac{3}{2}$（舍），
②當$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2}$≤1，即m＜1時，
當t=$\frac{m}{2}$時，函數取得最小值此時最小值y=-$\frac{{m}^{2}}{2}$=-1，得m=$\sqrt{2}$，
③當$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2時，
當t=1時，函數取得最小值此時最小值y=2-2m=-1，得m=$\frac{3}{2}$（舍），
綜上若f（x）的最小值為-1，則實數m=$\sqrt{2}$．
（3）令g（x）=2cos²x-2mcosx+$\frac{24}{49}$m²=0，得cosx=$\frac{3m}{7}$或$\frac{4m}{7}$，
∴方程cosx=$\frac{3m}{7}$或$\frac{4m}{7}$在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上有四個不同的實根，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{3m}{7}＜1}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{4m}{7}＜1}\\{\frac{3m}{7}≠\frac{4m}{7}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7\sqrt{2}}{6}≤m＜\frac{7}{3}}\\{\frac{7\sqrt{2}}{8}≤m＜\frac{7}{4}}\\{m≠0}\end{array}\right.$，則$\frac{7\sqrt{2}}{6}$≤m＜$\frac{7}{4}$，
即實數m的取值范圍是$\frac{7\sqrt{2}}{6}$≤m＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題主要考三角函數的性質，函數的零點以及復合函數的應用，綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．