Question

11．已知直線l：y=2x+n，n∈R，圓M的圓心在y軸，且過點（1，1）．
（1）當n=-2時，若圓M與直線l相切，求該圓的方程；
（2）設直線l關于y軸對稱的直線為l′，試問直線l′與拋物線N：x²=6y是否相切？如果相切，求出切點坐標；如果不想切，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，求出圓的圓心與半徑即可得到圓的標準方程．
（2）求出對稱直線的方程與拋物線聯(lián)立方程組，利用相切求解即可．

解答 解：（1）設M的方程為x²+（y-b）²=r²，
（1，1）代入，可得1+（1-b）²=r²，①
∵直線l與圓M相切，∴$\frac{|-b-2|}{\sqrt{5}}$=r，②
由①②可得b=3或$\frac{1}{2}$，
∴M的方程為x²+（y-3）²=5，或x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，
（2）因為直線l的方程為y=2x+n
所以直線l′的方程為y=-2x+n．
與拋物線聯(lián)立得x²+12x-6n=0．
△=144+24n
①當n=-6，即△=0時，直線l′與拋物線C相切；，切點坐標為（-6，6）
②當n≠-6，即△≠0時，直線l′與拋物線C不相切．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，圓的方程的求法，以及對稱知識的應用，考查分析問題解決問題的能力．