Question

19．已知函數f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$），（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求函數f（x）的單調減區間；
（2）若h（x）=f（x）-b，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上含有2個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數的周期性求得ω的值，可得函數的解析式，再利用正弦函數的單調性，求得函數f（x）的單調減區間．
（2）由題意可得f（x）的圖象和直線y=b在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有2個交點，再利用正弦函數的單調性、定義域和值域，求得b的范圍．

解答 解：（1）∵函數f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，
∴ω=2，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
可得函數的單調減區間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）若h（x）=f（x）-b，在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上含有2個零點，
則f（x）的圖象和直線y=b在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有2個交點．
在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，∵2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴2sin（ωx-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
又2sin（$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，當2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上時，f（x）單調遞增；
當2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上時，f（x）單調遞減，2sin$\frac{π}{2}$=2，可得b∈[$\sqrt{3}$，2）．

點評 本題主要考查正弦函數的周期性、單調性，正弦函數的圖象，屬于中檔題．