Question

設函數f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），g（x）=5ln（x+b）+

1

2

x²-3x，函數f（x）在x=1與x=2處取得極值．
（1）求實數a、b的值；
（2）若φ（x）=f（x）-g（x），求證：當x∈（-1，+∞）時，φ（x）≤0恒成立；
（3）證明：若x＞0，y＞0，則xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求導函數，根據x=1與x=2是f（x）的一個極值點，可得f'（1）=0，f′（2）=0，從而可求a，b的值；
（2）先化簡φ（x）=ln（x+1）-x，根據導數與最值的關系，求出φ（x）的最大值，即可得證
（3）利用（2）的結論，以及作差法比較即可

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-（4+a）x+6ln（x+b），
∴f′（x）=x-（4+a）+

6

x+b

，
∵函數f（x）在x=1與x=2處取得極值．
∴f′（1）=0，f′（2）=0，
∴

1-(4+a)+ 6 1+b =0 2-(4+a)+ 6 2+b =0

解得

a=0 b=1

，
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1），g（x）=5ln（x+1）+

1

2

x²-3x，
∴φ（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-4x+6ln（x+1）-5ln（x+1）-

1

2

x²+3x=ln（x+1）-x
∴函數的定義域為（-1，+∞）
∴φ′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，
令φ′（x）=0，解得x=0，
當φ′（x）＞0時，即-1＜x＜0時，函數φ（x）單調遞增，
當φ′（x）＜0時，即x＞0時，函數φ（x）單調遞減，
故當x=0時，函數φ（x）有極大值，φ（0）=0，
函數的極大值也是函數的最大值，
∴當x∈（-1，+∞）時，φ（x）≤0恒成立；
（3）證明：xlnx+ylny-（x+y）ln

x+y

2

=x（lnx-ln

x+y

2

）+y（lny-ln

x+y

2

）
=xln

2x

x+y

+yln

2y

x+y

，
=-xln

x+y

2x

-ln

x+y

2y

，
=-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）
由（2）知，-xln（1+

y-x

2x

）-yln（1+

x-y

2y

）＞-x•

y

2x

-y•

x-y

2y

=0
∴若x＞0，y＞0，則xlnx+ylny≥（x+y）ln

x+y

2

．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性、最值等知識及不等式恒成立問題的證明，考查分類討論數學思想及轉化劃歸思想的運用能力，屬難題