Question

連接直角三角形的直角頂點與斜邊的兩個三等分點所得的兩條線段的長分別是sina與cosa，則斜邊的長為

 

．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用

專題：解三角形

分析：設直角△AOB，以OA，OB所在直線為x，y軸建立直角坐標系，則A（b，0），B（0，a），E，F分別為兩個三等分點，求得E（

2b

3

，

a

3

），F（

b

3

，

2a

3

），從而OE²+OF²=（

4b2

9

+

a2

9

）+（

b2

9

+

4a2

9

）=

5

9

(a2+b2)=1，由此能求出斜邊的長．

解答： 解：設直角△AOB，以OA，OB所在直線為x，y軸建立直角坐標系，
則A（b，0），B（0，a），
E，F分別為兩個三等分點，求得E（

2b

3

，

a

3

），F（

b

3

，

2a

3

）
∵sin²a+cos²a=1，
∴OE²+OF²=（

4b2

9

+

a2

9

）+（

b2

9

+

4a2

9

）=

5

9

(a2+b2)=1，
∴a²+b²=

9

5

，
∴斜邊的長是

a2+b2

=

3 5

5

．
故答案為：

3 5

5

．

點評：本題考查斜邊長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數的性質的合理運用．