Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a₂=2，且點（S_n，S_n+1）在直線y=kx-1上．
（1）求k的值；
（2）求證{a_n}是等比數列．
（3）設b_n=na_n，求{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于點（S_n，S_n+1）在直線y=kx-1上．可得S_n+1=kS_n-1，取n=1即可得出；
（2）由（1）知S_n+1=2S_n-1，利用遞推式的意義可得a_n+1與a_n的關系，即可證明；
（3）利用“錯位相減法”即可得出．

解答： （1）解：∵點（S_n，S_n+1）在直線y=kx-1上．
∴S_n+1=kS_n-1，
n=1時，a₁+a₂=ka₁+1，
又a₁=1，a₂=2，則1+2=2k-1，
∴k=2．
（2）證明：由（1）知S_n+1=2S_n-1①
當n≥2時，S_n=2S_n-1-1②
①-②得a_n+1=2a_n（n≥2），
又a₂=2a₁，易見a_n≠0（n∈N₊），
∴

an+1

an

=2(n∈N+)
故{a_n}成等比數列．
（3）由（2）an=1×2n-1=2n-1，
∴bn=n×2n-1，
∴Tn=b1+b2+…bn=1×2°+2×21+3×22+…+n×2n-1，
2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，
兩式相減得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n⇒Tn=(n-1)×2n+1．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列與等差數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．