Question

已知函數f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點是x=1和x=-1．
（1）證明：當x₁，x₂∈[-2，2]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（2）若過點A（1，t）可作曲線y=f（x）的三條切線，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求導函數，利用函數f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點是x=1和x=-1，建立方程組，即可求得a，b的值；利用導數求函數的最值即可．
（2）可設出切點坐標M（x₀，y₀），然后用兩種方式表示出斜率，建立關于切點橫坐標的方程2x₀³-3x₀²+t+3=0，再借助函數的單調性與極值確定其有三個解的條件即可．

解答： 解：（1）求導函數，可得f′（x）=3ax²+4bx-3
∵函數f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點是x=1和x=-1．
∴f′（1）=0，且f′（-1）=0  
∴

3a+4b-3=0 3a-4b-3=0

，
∴a=1，b=0
此時f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
可知x=1和x=-1是函數f（x）=ax³+2bx²-3x的極值點；
∴f（x）=x³-3x，
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，故f（x）在區間[-1，1]上為減函數，
當-2≤x＜-1或1＜x≤2時，f′（x）＞0，故f（x）在區間[-2，-1）和（1，2]上為增函數，
∴f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4．
（2）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線方程為y=x³-3x，∴點A（1，t）不在曲線上．
設切點為M（x₀，y₀），切線的斜率為3（x₀²-1）=

x03-3x0-t

x0-1

．（左邊用導數求出，右邊用斜率的兩點式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+t+3=0．
∵過點A（1，t）可作曲線的三條切線，故此方程有三個不同解，下研究方程解有三個時參數所滿足的條件．
設g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3，則g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減．
∴函數g（x₀）=2x₀³-3x₀²+t+3的極值點為x₀=0，x₀=1，
∴關于x₀方程2x₀³-3x₀²+t+3=0有三個實根的充要條件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，
解得-3＜t＜-2．
故所求的實數t的取值范圍是-3＜t＜-2．

點評：本題考點是利用導數研究函數的單調性，考查了函數極值存在的條件，利用導數求函數最值的方法以及導數研究函數在某點切線的問題，本題涉及到了求導公式，求最值的方法，導數的幾何意義等，綜合性強，難度較大．