Question

設f（x）=

2x2-2x+2

x2+1

（1）求f（x）的值域；
（2）判斷F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性，并說明理由；
（3）求證：lg

7

5

≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤lg

13

5

（t∈R）．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）設y=

2x2-2x+2

x2+1

，將該式整理成關于x的方程，根據方程有解即可求得函數f（x）的值域；
（2）求F′（x），然后判斷F′（x）的符號，從而判斷出函數F（x）在[-1，1]上單調遞減；
（3）根據數軸上兩點間的距離的表示可以知道|t-

1

6

|-|t+

1

6

|表示數軸上到點

1

6

，與到-

1

6

距離的差，所以便得到-

1

3

≤|t-

1

6

|-|t+

1

6

|≤

1

3

，從而根據F（x）在[-1，1]上單調遞減即可證得該問．

解答： 解：（1）設y=

2x2-2x+2

x2+1

，由該函數得：y（x²+1）=2x²-2x+2，整理成：
（2-y）x²-2x+2-y=0，關于x的方程有解；
∴若y=2，則方程變成-2x=0，x=0，即方程有解；
若y≠2，則：△=4-4（2-y）²≥0，解得：1≤y≤3；
∴函數f（x）的值域為[1，3]；
（2）F′(x)=

2(x2+1)(x2-1)

2x2-2x+2

；
∵2x2-2x+2=2(x-

1

2

)2+

3

2

＞0，x∈[-1，1]；
∴x²-1≤0；
∴F′（x）≤0；
∴F（x）在[-1，1]上單調遞減；
（3）證明：|t-

1

6

|-|t+

1

6

|=|t-

1

6

|-|t-(-

1

6

)|；
∴|t-

1

6

|-|t+

1

6

|表示數軸上到

1

6

的距離與到-

1

6

距離的差；
∴-

1

3

≤|t-

1

6

|-|t+

1

6

|≤

1

3

；
∵F（x）在[-1，1]上單調遞減；
∴F(

1

3

)≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤F(-

1

3

)；
又F(

1

3

)=lg

7

5

，F(-

1

3

)=lg

13

5

；
∴lg

7

5

≤F(|t-

1

6

|-|t+

1

6

|)≤lg

13

5

．

點評：考查該題求值域的方法：將函數變成關于x的方程，根據方程有解求值域，根據函數導數符號判斷函數單調性的方法，數軸上兩點間距離的表示．