Question

在各項均為正數的數列{a_n}中，前n項和S_n滿足S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），n∈N^*，求：
（1）a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）猜想數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）求S_n的表達式．

Answer 1

考點：數列的概念及簡單表示法,數列的求和,數學歸納法

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N^*），a_n＞0，可求得a₁，a₂，a₃；
（2）根據（1）猜想：a_n=

n

-

n-1

（n∈N^*），再利用數學歸納法證明即可；
（3）由（2）a_n=

n

-

n-1

（n∈N^*），累加可得S_n=a₁+a₂+…+a_n=

n

（n∈N^*）

解答： 解：（1）由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N^*），a_n＞0，
得a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

）⇒a12=1⇒a₁=1；
a₁+a₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）⇒a22+2a₂-1=0⇒a₂=

2

-1；
a₁+a₂+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

）⇒a32+2

2

a₃-1=0⇒a₃=

3

-

2

，
故a₁=1，a₂=

2

-1，a₃=

3

-

2

；…（6分）
（2）根據（1）猜想：a_n=

n

-

n-1

（n∈N^*）．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，由（1）的計算可知a₁=1，等式成立；
②假設n=k時，等式成立，即a_k=

k

-

k-1

，
則當n=k+1時，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

+a_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

），
整理得：ak+12+2

k

a_k+1-1=0，
所以，a_k+1=

-2 k + (2 k )2-4×(-1)

2

=

k+1

-

k

，
即當n=k+1時，等式也成立，
綜合①②得，對?n∈N^*），a_n=

n

-

n-1

．…（10分）
（3）由（2）可得：
S_n=a₁+a₂+…+a_n=1+（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

n

-

n-1

）=

n

（n∈N*）…（14分）

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，著重考查運算與猜想能力，突出考查數學歸納法的應用，考查轉化思想與推理、證明能力，屬于中檔題．