Question

已知雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，離心率為

3

，且雙曲線過點（

2

，

2

），
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）過點P（2，1）作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點使P為AB的中點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）運用離心率公式及a，b，c的關系，代入雙曲線方程，得到2x²-y²=2a²，再代入點（

2

，

2

），解方程，即可得到a，b，進而得到雙曲線方程；
（2）設出過P（1，2）點的直線AB方程，然后代入雙曲線方程，利用設而不求韋達定理求出k的值，求出AB的方程即可

解答： 解：（1）離心率為

3

，即e=

c

a

=

3

，
即c²=3a²，b²=c²-a²=2a²，
即有雙曲線方程為：2x²-y²=2a²，
代入點（

2

，

2

），則有4-2=2a²，
則a²=1，b²=2，
則雙曲線方程為：x²-

y2

2

=1；
（2）設過P（2，1）點的直線AB方程為y-1=k（x-2），
代入雙曲線方程得
（2-k²）x²-（2k-4k²）x-（k⁴-4k+3）=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=

2k-4k2

2-k2

，
由已知

x1+x2

2

=x_p=2，
∴

k-2k2

2-k2

=2．解得k=4．
又k=4時，△＞0，從而直線AB方程為4x-y-7=0．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質及運用，以及直線的一般式，通過直線與雙曲線的方程的聯立，通過設而不求韋達定理解題，屬于中檔題．