Question

11．等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=3，a₅=81，等差數列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}$n．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N^*，$（{S_n}+\frac{1}{2}）•k$≥b_n恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}的公比為q，由題意和等比數列的性質求出q，由等比數列的通項公式求出a_n，由題意、數列的通項公式與前n項和的關系求出b_n；
（2）解法一：由（1）和等比數列的前n項和公式求出a₁、S_n，代入恒成立的式子化簡并分離出k，令${c}_{n}=\frac{3n-6}{{3}^{n}}\\;\\;\$，利用列不等式組求出c_n的最大值，即可求出k的范圍；
解法二：由（1）和等比數列的前n項和公式求出a₁、S_n，代入恒成立的式子化簡并分離出k，令${c}_{n}=\frac{3n-6}{{3}^{n}}\\;\\;\$，利用作差法判斷出數列{c_n}的單調性，求出c_n的最大值，即可求出k的范圍．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，
由題意得，$\frac{a_5}{a_2}={q^3}=\frac{81}{3}=27\;\;\;∴q=3$，
∴${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=3•{3^{n-2}}={3^{n-1}}$…（3分）
∵T_n=$\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}$n，
∴當n≥2時，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{2}{n^2}-\frac{9}{2}n-[{\frac{3}{2}{{（n-1）}^2}-\frac{9}{2}（n-1）}]=3n-6$…（4分）
當n=1時，${b_1}={T_1}=\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-3$也適合上式  …（5分）
綜上得，${b_n}=3n-6\;\;（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）解法 一：由（1）得，
${a_1}=1，\;\;\;\;{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（7分）
由條件得，$（\frac{{{3^n}-1}}{2}+\frac{1}{2}）k≥3n-6$對n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{6n-12}{3^n}$對?n∈N^*恒成立 …（8分）
令${c_n}=\frac{3n-6}{3^n}\;\;\;則k≥2•{（{c_n}）_{max}}$，
設$\left\{\begin{array}{l}{{c}_{n}≥{c}_{n+1}}\\{{c}_{n}≥{c}_{n-1}}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n-6}{{3}^{n}}≥\frac{3n-3}{{3}^{n+1}}}\\{\frac{3n-6}{{3}^{n}}≥\frac{3n-9}{{3}^{n-1}}}\end{array}\right.$，
解得2.5≤n≤3.5，則n=3…（10分）
∴${（{c_n}）_{max}}={c_3}=\frac{1}{9}$，即$k≥2{（{c_n}）_{max}}=\frac{2}{9}$…（11分）
∴實數k的取值范圍是$[\frac{2}{9}\;，\;+∞）$．…（12分）
解法二：由（1）得，
${a_1}=1，\;\;\;\;{S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{1-{3^n}}}{1-3}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$…（7分）
由條件得，$（\frac{{{3^n}-1}}{2}+\frac{1}{2}）k≥3n-6$對n∈N^*恒成立，
∴$k≥\frac{6n-12}{3^n}$對n∈N^*恒成立…（8分）
令${c_n}=\frac{3n-6}{3^n}\;\;\;則k≥2•{（{c_n}）_{max}}$，
∵${c_n}-{c_{n-1}}=\frac{3n-6}{3^n}-\frac{3n-9}{{{3^{n-1}}}}=\frac{-2n+7}{{{3^{n-1}}}}$，
∴當n≤3時，c_n＞c_n-1，當n≥4時，c_n＜c_n-1…（10分）
則${（{c_n}）_{max}}={c_3}=\frac{1}{9}$，即$k≥2{（{c_n}）_{max}}=\frac{2}{9}$…（11分）
∴實數k的取值范圍是$[\frac{2}{9}\;，\;+∞）$．…（12分）

點評 本題考查了等比數列的通項公式、前n項和公式，數列的通項公式與前n項和的關系，求數列最大項的兩種方法，以及恒成立轉化為求最值問題，考查轉化思想，函數思想，化簡、變形能力，注意n是N^*．