Question

3．定義在R上的函數f（x），f（0）≠0，f（1）=2，當x＞0，f（x）＞1，且對任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求證：對任意x∈R，都有f（x）＞0；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明；
（3）求不等式f（3-2x）＞4的解集．

Answer 1

分析 （1）先令a=b=0計算f（0）=1，當x＜0時，f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$＞0，從而得出結論；
（2）設x₁＜x₂，則f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），于是f（x）在R上是增函數；
（3）f（2）=4，利用函數的單調性得出3-2x＞2，解出答案．

解答 解：（1）證明：令a=b=0，
則f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1，
當x＜0時，-x＞0，∴f（-x）＞1，
∵f（0）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$，
∵f（-x）＞1，∴0＜$\frac{1}{f（-x）}$＜1，即0＜f（x）＜1，
又當x＞0，f（x）＞1； 且f（0）=1，
所以對任意x∈R，都有f（x）＞0．
（2）f（x）在R上是增函數，
證明如下：設x₁＜x₂，
則f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）f（x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞1，又f（x₁）＞0，
∴f（x₂-x₁）f（x₁）＞f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數．
（3）∵f（2）=f（1）•f（1）=4，
∴f（3-2x）＞4?f（3-2x）＞f（2），
∵f（x）在R上是增函數，
∴3-2x＞2，
解得x＜$\frac{1}{2}$．
∴不等式f（3-2x）＞4的解集為（-∞，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了抽象函數的性質，函數單調性的判斷與應用，屬于中檔題．